大卫希尔伯特，D.（DavidHilbert，～），德国著名数学家，被称为“数学界的无冕之王”，他是天才中的天才。他于年8月8日（也是庚子年）在巴黎第二届国际数学家大会上，提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，这23个问题统称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，起到了积极的推动作用，希尔伯特问题中绝大部分现已得到圆满解决，唯一至今没有实质进展的是希尔伯特第八问题，世界数学界一直没有满意推进，即关于数论方面的哥德巴赫猜想（以下简称哥猜），孪生素数猜想（以下简称孪猜）以及黎曼猜想（以下简称黎猜），成了人类智力的边界，乃至黎曼猜想作为老问题遗留到了世界千禧年七大数学猜想之中。

年过去了，历经两个庚子年，终于迎来了破解希尔伯特第八问题的曙光。罗莫老师新近出版的数论专集《数学底层引擎相邻论和重合法》，由海天出版社出版，该书集结了21篇论文，证明了数学界久未解决的几十个猜想难题，其中有三篇论文是分别破解哥猜、孪猜和黎猜的。作者罗莫通过数学新工具相邻论和重合法开启了整数不等量分割和等量分割可以相互转换的暗门枢纽。一个朴素的数学规则被呈现：因单位元缺席，无素数基础解系的例外偶数不存在，因累积互素，无素数因子可构造的例外偶数不存在。原以为解决这些难题需要复杂的计算，殊不知攻克这道难关的，仅是一个逻辑观念的觉醒。心外无物，是这一古老的东方哲学启迪了我们的心智，谁说古代中国没有纯数学传统，没有根基的异域不存在！正是基于这一思想传承，哥猜的神秘面纱被揭开。

据此可多米诺骨牌式地解决孪猜和黎猜以及一系列丢番图问题。黎猜是通过不同特征值所对应的线性算子经线性映射所得到的点乘和数乘之差值存在为0的结果，当且仅当哥猜成立时。即素数二项式表达（哥猜），其等式左边的点乘和等式右边的数乘是解集同构的，k个不同素数之和与k个不同素数均项（素数多项式函数），当且仅当k=2时，等式左边多项式的点乘与等式右边均值的数乘是整数解集同构的，k≠2时，等式左右整数解集是同态的。k=1时，极坐标为0度，虚部为0，黎曼泽塔方程有平凡0点解s=-2n，k=2时，黎曼泽塔方程有非平凡0点解Res=1/2，舍此无0点解。解决希尔伯特第八问题的密钥原来在此。

本文通过约化偶数等量分割和不等量分割方程，经数乘逆运算得到不可约整系数多项式方程，可知奇数互素解集是其本原解（由伯特兰―切比雪夫定理推得）；经点乘逆运算得到奇素数多项式方程，可知二元奇素数基础解系是偶数不等量分割方程的最简本原解。由于用两互异奇素数之和定义的可表偶数方程就是关于全集偶数的最简本原解方程，故与可表偶数有互补关系的例外偶数之通解就一定是空集，通过整数相邻互素定理亦可证明与可表偶数累积相邻互素的例外偶数是空集，从而证明了二元加法运算在可表偶数上封闭。还可通过整数相邻互素定理及互异互素思想，证明该引理成立。由于此引理获证，可多米诺骨牌式地解决哥德巴赫猜想、斋藤猜想、孪生素数猜想、波利尼亚克猜想、莫德尔猜想、比尔猜想、ABC猜想、奥波曼猜想和黎曼假设等系列相关问题。

黎曼猜想因与素数分布紧密关联，故借“二元加法运算在可表偶数上封闭”的引理，亦可证明其成立。当且仅当黎曼泽塔函数其通项导数为f（1/2）时，经解析延拓后原集与扩域集之间存在共轭同构关系，级数中的正负“两类发散级数之和”其绝对值相等。除了经线性空间的素数基底性质可判定，它与哥猜命题等价外，还可由洛必达法则判定，它与算术基本定理等价。故导数f（非1/2）时扩域出的“两类发散级数之和”构成交错级数，正负两部分的绝对值仅存同态关系，以上可由哥猜推论得到。可见是用哥猜获证做引理，证明了黎曼泽塔函数通项导数的生成元非1/2时必无0点非平凡解，黎曼猜想获证。

本文包括续篇是对希尔伯特第八问题的全面阐释，将囊括哥德巴赫猜想、孪生素数猜想和黎曼猜想三大难题，解决这些问题的核心，正是希尔伯特的特征方程内积思想以及互异互素的思想在素数领域的推广。可见解铃还须系铃人。本文全部内容分黎猜，哥猜，孪猜三篇推出。

可表偶数；例外偶数；素数基础解系；通解；不等量分割；等差素数数列有限长；等差素数数组无限长；互素；互异；同态；同构；线性相关；线性无关；解析延拓；差分算子；导数生成元

1.0.何为黎曼猜想？

德国数学家G.F.B.Riemann（G.F.B.黎曼）（—）观察到，素数的频率与一个复杂的函数密切相关。ζ（s）=1/1^s+1/2^s+1/3^s+1/4^s+…被称为黎曼泽塔函数。黎曼猜想认为所有素数都可用一个同自然数一一映射的亚纯函数①的极值来表示。在s＜1时，特意定义了一个巧妙算法（解析延拓）来扩域，再将扩域后得到的正数项级数“发散和”加上与其交错互补的负数项级数“发散和”，两个正负无穷大相加可得到一个有限量。也就是说，发散的原级数经解析延拓变为交错级数则存在条件收敛。ζ（s）=0的所有非平凡解集位于一条经过横坐标1/2处的垂直线上，这就是黎曼猜想。

下面我们就来证明黎曼猜想的一个等价命题：黎曼泽塔函数临界线外的非平凡0点解为空集。即黎曼黎曼泽塔函数除了数列通项中的导数的极限为常量时其原函数的极限可收敛于另一常量外，不存在通项导数为变量时仍满足解析延拓后的正负“发散和”可收敛于某常数，也不存在通项导数为常数时黎曼泽塔函数可收敛于某变数。这一差商性质满足洛必达法则②，等式一般情形从左到右至少是同态单射的。而等式特殊情形从左到右黎曼泽塔函数且是同态满射关系则是本文须证明的核心。可导必可积，可积未必可导。

可见要想解决黎曼猜想，就要深刻理解：原函数通过解析延拓的作用后定义域发生了哪些变化？它是按什么规则扩域的？数列中的哪些项会扩域出负数？既然新的正负交错数列求和等于两个发散数列的和值相减，那么所得到的差值是继续发散呢，还是存在条件收敛？理由何在？级数经解析延拓扩域后正数项数列与负数项数列其本质区别在哪里？是不是原函数特征值③的“特征精准程度”可通过黎曼泽塔函数解析延拓后的求和来考察？

1.1.数学家对黎曼猜想的探索

黎曼泽塔函数复变量实部常数项非1/2时的解集为何没有非平凡0点解。以下我们就来证明该命题：黎曼泽塔函数临界线外的非平凡0点解是空集。

本文证明是建立在前人研究成果的基础上所完成的存在性证明，非构造性证明，且虚部b的定义域为代数数以及超越数的极值数。阿蒂亚（Atiyah）声称仅完成了弱解析纯复数域的证明（强解析部分未涉及）。而本文完成的是黎曼泽塔函数的几乎所有定义域证明。虚部b为不可数的纯超越数强解析时，本文不作讨论，撇开了强解析的情形。因为强解析，连续量无定点值，与黎曼猜想是矛盾的，自然数与连续量不是一一映射的，康托尔已证。

黎曼猜想是研究离散量与连续量的良序极值之间存在可一一映射的桥梁。由于数学归纳法仅在离散量和部分有离散极值的连续量中生效，研究纯连续量的强解析域不能与自然数完成一一映射，哥德尔的不完备定理已在此把关，这一领域的命题用已知的数学体系既不能证真，也不能证伪，只能把它当成准公理或悖论处理。而本文通过证明，显示了离散量与弱连续量之间完全可以架设桥梁，与代数数有紧邻边缘关系的某类强连续量通过不断添加新算法就能被“策反”归类到弱连续量当中来。

确立了目标后，于是就思考。所有非平凡解为何都在临界带（线）上？临界带（线）上为何有解，且为何有无穷个？如何计算出非平凡0点解？为何平凡0点解等于-2n？通过伽马函数怎样得到ζ（s）=ζ（1-s）=0？解析延拓变负号项为何发生在偶数项或n倍数项？实部Res的大小为何能决定黎曼泽塔函数模长的变化率？虚部Ims的大小为何能决定黎曼泽塔函数轨迹转幅的大小以及保角变换的延伸？函数特征值为何可由函数的差分算子④决定？好在这些都已被朱世杰、牛顿、欧拉、黎曼、哈代和希尔伯特等前辈数学家们所完成，有了他们所攀越的高峰，接下来证明就简单多了，仅证明黎曼泽塔函数临界线外的非平凡0点解为空集，就可证明黎曼猜想成立。就像哥猜证明只要证明例外偶数为空集一样。黎曼猜想的实质是高维空间数在一维空间上都有“户口登记”，一维空间查无“户口登记”的高维空间数是不存在的。黎曼猜想说明了所有的生命都是有线性根基的，没有线性根基的生命是不存在的。黎曼猜想的证明同哥德巴赫猜想的证明极其相似，一个线外解集是空集，一个例外偶数是空集，都是证明既定的复杂运算不产生例外数值，这种复杂运算不像简单运算有更根本的数学性态，是产生最优化理论的根源。可简单概括为相邻论思想，所有的数学运算都出自最简单的一维相邻运算。

优先用初等数学方法解决高等数学问题，是数学发展的正常路径，符合奥卡姆剃刀原理。反之是倒逼的方法，即便问题解决，也不易发现推动数学发展的原动力在哪。故简洁证明更有价值。相邻论的主体思想原来就是中国元代数学家朱世杰的差分算子理论，如果说在此基础上有什么添加的话，相邻论是素数一次多项式差分算子理论中的一种素数线性变换，只不过更重视考察差分算子的低维特性，即素数分布，是研究素数一次多项式的。通过差分算子的线性变换来考察一次多项式中的素数分布，并把这一函数称为邻函数。

单位差分算子，准确地说是差商算子，当且仅当为常量2时，差商算子确定下的黎曼泽塔函数通项存在特征值的函数f（1/2）即2，可构造差商算子作用素数多项式与特征值作用素数多项式所得到的函数值同构。

换句话说，可构造差商算子作用素数多项式与特征值的函数作用素数多项式的均值所得到的函数值同构。其他情形两者同态。这是本文从代数数定义域去完成证明的核心。离散极值微分算子，准确地说是导数算子，当且仅当实部为常量2时，导数算子确定下的黎曼泽塔函数通项存在特征值的函数2，可构造导数算子作用素数多项式与特征值作用素数多项式所得到的函数值同构。

换句话说，可构造导数算子作用素数多项式与特征值的函数作用素数多项式的均值所得到的函数值同构。其他情形两者同态。这是本文从弱连续量定义域去完成证明的核心。连续量任意位的后继数可同时延伸不同的数叫超越数。连续量任意位的后继数可次第延伸不同的数叫弱连续量，这是代数数的扩域。华罗庚前辈说，创建数学工具比解决数学难题更重要，解决难题毕竟还是在做应用，是次一级的纯粹数学。因此证明猜想的相关备用工具有必要先亮相，

以上介绍了相邻论的思想，可理解为就是素数差分算子理论。通过它完成了一些引理证明，即哥德巴赫猜想的证明。以哥猜做引理，我们再来证明黎曼猜想。

1.2.黎曼泽塔函数的各种“变脸”。

我们来考察黎曼泽塔函数实部定义域与黎曼泽塔函数值域之间的关系。黎曼猜想的各种等价表达很多，其中推演出的命题就有上千个，就不一一列举了。有个简单的变换，我们来考察下，黎曼泽塔函数的s解，除了可用笛卡尔坐标（s，ζ（s））表达外，还可用极坐标⑤表达。由于定义域和值域分别需要复平面表达，故黎曼泽塔函数的图像是四维坐标的。临界带是黎曼泽塔函数定义域平面坐标图，而黎曼泽塔函数平面坐标图如图21-2所示，当然这也不是黎曼泽塔函数的整体四维坐标图：

笛卡尔坐标与极坐标等价表达临界线。

根据欧拉乘积方程，即黎曼泽塔函数ζ(s)=∑（1/n^s）=∏1/（1-1/p^s），自变量s为复数域，复数包括复代数数与复超越数，其中复代数数是整系数多项式的复根，故可用有限个数的整数“数对”表达。而笛卡尔坐标和极坐标表达的整数“数对”关系，皆为乘法关系。当极角为定值时，极坐标的其中一个量就是常数。当极角为2π/6时，相当于取6倍数中的偶数域，极坐标中的其中一项常数值置换成笛卡尔坐标就是1/2。至于复超越数，则可通过添加新算法构造新的整数“数对”来表达。总之某类复变量的极值同自然数有一一映射关系，同素数序列也有一一映射关系。

当s解集“数对”中的常量不是2π/6时，即Res≠cos2π/6≠1/2时，非平凡0点解就在临界线外。根据常量2π/6的几何意义，其复平面的位置是（Res=cos2π/6=1/2，Ims=bi），表示素数至少需要两元相加获得所有偶数以及至少需要三元相加获得所有奇数，其中正三元得正奇数，负三元得负奇数，即每隔一个n才有一个新增素数产生，从而能满足所有非平凡0点上的收敛。因此非平凡0点与平凡0点一样，都收敛于关联偶数值的复指数情形，只不过非平凡0点是通过指数复数值的关联偶数来间接表达的。作为黎曼泽塔方程s的解集（Res=cos2π/6=1/2，Ims=bi），Ims=bi中的b必须同所有偶数关联，至少是同某种特殊偶数的谐波有关联，如3+p所得到的特殊偶数的谐波，不同的偶数集决定了解析延拓后的负数项数列特征，虚数i的偶数次方产生了负数项级数。

把笛卡尔坐标的实部Res=a（实数）当成极坐标的极角数，转换为笛卡尔坐标的实部cos（a），然后又把该实部看成极坐标的极角数，转换成笛卡尔坐标的实部，又继续看成极角数转换为极坐标的实部cos（cos（a）），如此不断迭代进行，实部解会趋于一个常数，该常数f（f（cosa））=cos（cos…（cos（a）））=0.…，即cosa=a的极值方程解。虽说两类坐标的实部不能等同互用，但两类“数对”属于关联映射，可等价表达复数，实部存在以少对多，最后是以一对多的关系。以上证明了变量加变量的复变量二元复数可以拓扑等价转化为常量加变量的单变量二元复数，说明二元复数和一元实数是连续量的一一映射，且拓扑等价。一个常量加素数的谐波等价于复变量。

1.3.可见复变量的本质是单变量。用此结论可证明黎曼猜想成立。

该常数r跟圆周率π有关，也可以说跟e有关，所以也是个超越数。r（0.…）是极坐标的“浓缩实部常数”，它近似于“精细结构常数⑥”a（1/）先乘再加1%，即方程cos（a+1%）=a+1%的解，更近似于2/（10^4e）。它说明了复变量与单变量有相互等价的映射性质。它证明了黎曼泽塔函数复自变量与复因变量实部的常量本原解具有唯一性。复因变量的实部为非平凡0点解时，复自变量只能一一映射为一个常量。根据伽马函数所推出的结果ζ（s）=ζ（1-s），再根据复变量实部都是“浓缩实部常数”的展开，实部的本原解仅为一个常量，可推得复自变量的实部只能是1/2，否则复自变量的实部就有多个同构性的本原解可映射出具同态性的各类通解，这与同构对象仅有一个相矛盾。非平凡0点解就是找出同构对象，而同态对象与同构对象相比具有互异性，彼此集结而相互抵消时无法产生0点解。

本文在阿蒂亚论文公布之前已经发表，国家图书文献中心中国预印本上有时间戳为证，但碰巧与阿蒂亚用无量纲常数证明黎曼猜想有呼应的地方。阿蒂亚的证明思路大体是正确的，从媒体上看到，数学家大都低估了他的证明框架。阿蒂亚指出，理解“精细结构常数”只是最初的动机，在这个过程中发展出来的数学方法却可以理解黎曼猜想。这是阿蒂亚的天才洞见。但“精细结构常数”尚缺乏一个坚固的几何形状定义，它是两类粒子的速度之比，是物理常数，也是数学常数，如果它只能测量，而不能推算，说明还停留在物理常数的阶段。

另外一个关键是，“精细结构常数”尚不足以直接证明复变量的本质是单变量，不能直接证明黎曼泽塔函数实部是满射函数，即因变量实部唯一，自变量的实部就唯一。“浓缩实部常数”才可证明黎曼泽塔函数实部至少是满射函数，能用常数实部加变量虚部来等价表示复变量。但“精细结构常数”间接蕴含了可证明实部变量能用常量替代的思想，因此是很珍贵的，不应遭到数学界的漠视。

本文发现的“浓缩实部常数”是有坚固的几何形状定义的，它是极坐标浓缩映射笛卡尔坐标的余弦极角值，用模数和模数的倒数作为余数来微调“精细结构常数”就可得到“浓缩实部常数”。同样，用“浓缩实部常数”也可反推出“精细结构常数”。

既然实部定义域可变脸为常数，那函数值域会如何呢？黎曼泽塔函数是亚纯函数，除一点外，其他都是处处可导的光滑映射，自变量的实部有唯一收敛，因变量就有唯一收敛，这是可证明的；反过来因变量有唯一收敛，自变量的实部是否必有唯一收敛，还不得而知。两者如果是双射关系，黎曼猜想就可获证。自变量的实部定义域可等价变换为一个“浓缩实部常数”，这就决定了因变量也能相应计算出一个“收敛函数极值”这一性质。该判定是否为真，可由解析延拓的性质判定。Res决定了黎曼泽塔函数的轨迹模长，虚部Ims决定了黎曼泽塔函数的轨迹转幅，可以改变转幅来让实部不变。可见实部有唯一收敛极值，黎曼泽塔函数的模长就有唯一收敛极值。而反过来因变量有唯一收敛，自变量是否必有唯一收敛，下文将用“一阶差分算子”来详细证明。黎曼泽塔函数收敛得到的极值不同，说明函数的特征值不同，特征值不同，说明函数的线性算子不同，即“一阶差分算子”不同，“一阶差分算子”不同决定了实部要取不同的数值，由此证明了，黎曼泽塔函数实部收敛于某常数，且所一一映射的和值也收敛于唯一对应常数，由此可证两者是双射关系。可见黎曼猜想真正成立的内因是哥猜必须成立。

阿蒂亚在论文中报告了他可以用todd函数来推算“精细结构常数”，但目前尚无数学家完全信服。另外“精细结构常数”即便被todd函数所推算出，还缺乏一个精准推演，即由“精细结构常数”推理出，黎曼泽塔函数的实部为常数时原函数解析延拓后级数会收敛于一个常数，尽管todd函数可以从自变量等于常数推得因变量也会等于常数，且还可从因变量等于常数推得自变量也会等于常数。如果todd函数是黎曼泽塔函数的等价变换，那黎曼猜想就被证明了。可惜有两点未证实：一是todd函数的证明未获认可，目前仅为物理表达；二是todd函数与黎曼泽塔函数的等价变换未获证明。而阿蒂亚没有解决的这些关键问题，本文将从另一个角度给出解决方案。

“精细结构常数”与级数通项的“一阶差分算子”紧密关联，与“精准特征值”紧密关联，与“浓缩实部常数”紧密关联，与实部为1/2紧密关联。上文已证，黎曼泽塔函数实部收敛于某常数a，其一一映射的函数也收敛于某常数f（a）。于是可推得所有黎曼泽塔函数非平凡0点解只能落在Res=a的一条实部线条上，否则会与两类常数之间存在一一映射关系相矛盾。即一个函数收敛值不可以落在两个或两个以上的常数上。因为虚部解集Ims要么都不在（实部不匹配），要么都在临界线上。而哈代已证有无数解集落在Res=1/2的临界线上，其他解集也只能团结在其中。实部为实常数时，虚部含所有素数因子。总之复数的非线性与实数的线性是可以一一映射的，说明复平面数可浓缩到实部为常数的复线条数上，该结论康托尔完成过证明，本文证明更为简洁直观。即通过推导cosa=a的极值，就可得到“浓缩实部常数”a等于0.…。

那么该结论对证明黎曼猜想有何作用呢？是不是跟阿蒂亚一样，用它来做引理有点牵强？在黎曼泽塔函数中，连续量与离散量之所以有一一映射的关联，是因为用整数表达的弱连续量（整系数多项式的复根）选择了对各个部件表达可次第取极值，而非对各个部件表达同时取极值。否则“运算时序中的同时性滥用”就会导致数学归纳法失效，包括超限数学归纳法也会失效，良序原理、选择公理都会失效，就会导致猜想不能证真也不能证伪，从而被迫把猜想强推为公理。

无论是“浓缩实部常数”，还是“精细结构常数”，都可看成是速度之比，都可看成是差分算子，或导数算子。这类线性算子作用一次素数多项式与特征值作用一次素数多项式，存在同构与同态两种关系。当且仅当素数一次多项式为二项式时两者才同构，其他多项式是同态关系，黎曼泽塔函数会对应特殊常数，但不是0。如此一来，大多情形，经解析延拓后减去一个同原函数仅有同态关系的偶数项数列求和就无法条件收敛于0，而是收敛于其他常数，或者继续发散。此为证明核心，后文详述。本文仅凭“浓缩实部常数”和伽马函数就可粗略地证明黎曼猜想成立。“浓缩实部常数”证明了黎曼泽塔函数因变量实部互异唯一，自变量的实部就互异唯一，而根据伽马函数，实部唯一就只有取1/2值。这是第一种证明黎曼猜想的方法。

2.0.破解黎曼泽塔函数的数学工具：哥德巴赫猜想成立！

不含所有素数的有限项相加无法获得所有的奇数和偶数，黎曼泽塔函数的非平凡0点解在临界带1＞Res＞0之间，刚已证明复数域的实部和虚部是有相互制约关系的，实部为常数1/2时，虚部所对应的是最密集的偶数域，实部在临界带1＞Res＞0之间取其他常数值时，虚部所对应的并不是最密集的偶数域。

通常认为某范围的虚部数域，跟实部选择什么数无关，其实两者之间有相互制约关联。这一点貌似反直觉，因而点破它就意义重大，数学史上的重大发现常貌似反直觉。因此跟偶数相关的非平凡0点解都被实部为1/2时的复数全部囊括。常数非1/2时的非平凡0点解必然就为空集。下文将重点证明这个结论。经验算，黎曼泽塔函数的前9个0点范围是：

1/2+-（14，14.5）i，1/2+-（21，21.5）i，1/2+-（25，25.5）i，1/2+-（30，30.5）i，1/2+-（32.5，33）i，1/2+-（37.5，38）i，1/2+-（40.5，41）i，1/2+-（43，43.5）i，1/2+-（48，48.5）i。

这些复根都在1/2直线上。敏感的人很快发现，又有2赫然在其中。黎曼为何有此直觉，这跟他做黎曼猜想的初衷分不开，其目标就是想通过研究素数分布规律来解决哥猜，故而选择考察欧拉乘积公式。既然偶数2n皆可用共轭素数表达，那直觉上黎曼就判断，共轭虚部解也应全部在1/2的直线上。很多数学家认为哥猜是个孤立问题，与黎曼猜想不相关。可我始终更愿意相信黎曼的初心是对的，他想通过分析黎曼泽塔函数解决哥猜。

2.1.于是我们倒过来先解决哥猜问题及其推论。

根据互素型哥德巴赫猜想获证所得到的结论（详细证明见本文第二篇章，这里直接运用证明结论，并精简复述了哥猜的某一种证明过程），两个不同奇素数之和可以得到所有大于6的偶数，三个不同奇素数之和可以得到所有大于13的奇数，可见二元素数加性组合可以得到所有偶数，三元素数加性组合可以得到所有奇数，而不仅是3n数（即特征值的函数，解析延拓变负号的所有项，都是特征数作用均值数列展开得到的）。前者左右同构，后者左右同态，大于3的n元素数相加也是如此。哥猜证明的简单叙述是这样的，它是通过完成一个引理证明而得到的结论，这个引理是：

（1）经各项等量数乘变换，偶数通解解集确定的整系数方程有且仅有相应确定的最简本原解解集。（求同还原定理，也叫重合定理）

f（x+y）=f（x）+f（y）=x+y；x+y=f（x）+f（y）=f（x+y）

不难证明，上式必定存在同态单满射，因为整数外积运算满足分配律，x，y为互异奇素数，其他为整系数，f为齐次二元线性素数函数。所有的二元线性空间都有确定的二元素数基底，确定的二元素数基底必属于所有的二元线性空间。没有二元素数基底就没有对应的二元线性空间，也就没有多元线性空间，因为一旦没有二元线性空间必没有多元线性空间。x+y为可表偶数，由二元素数基底构造而成。

经各项不等量内积变换，偶数通解解集确定的整系数方程有且仅有相应确定的最简本原解解集。（存异整合定理，也叫相邻定理）

cf（x+y）=af（x）+bf（y）=x+y；x+y=af（x）+bf（y）=cf（x+y）

同理可证，上式必定存在同态单满射，因为整数内积运算满足正交性，x，y为互异奇素数，其他为整系数，f为齐次二元线性素数函数。所有的二元线性空间都有确定的二元素数基底，确定的二元素数基底都属于所有的二元线性空间。没有二元素数基底就没有对应的二元及多元线性空间。x+y为可表偶数，由二元素数基底构造而成。

由以上可知，可表偶数x+y由二元素数基底构造而成，用互素线性算子作用，它的通解不扩域不缩减，它的多元表示也不扩域，即除此之外所有偶数的素数线性表示，皆不能在可表偶数的基础上扩域或缩域。而根据算术基本定理可表偶数的通项表达是可囊括大于6的所有偶数的，也就是说可表偶数无须借助于例外偶数就拥有偶数全集了，因为二项式素数表达的例外偶数根据定义只能是空集，当然它的通项表达也只能是空集。

（2）经各项等量数乘变换，k倍数通解解集确定的整系数方程有且仅有相应确定的最简本原解解集。（求同还原定理推论，也叫重合定理推论）

f（x+y+z+…）≤f（x）+f（y）+f（z）+…≤x+y+z+…

同理证明，一定存在同态满射，因为整数外积运算满足分配律，不能同态单射，因为多元线性空间相对多元素数基底来说会缩域。x，y，…，为互异奇素数，其他为整系数，f为齐次多元线性素数函数，所有对应的多元线性原像空间都有确定的多元素数基底，确定的多元素数基底未必都属于所有对应的多元线性原像空间。

经各项不等量内积变换，偶数通解解集确定的整系数方程有且仅有相应确定的最简本原解解集。（存异整合定理推论，也叫相邻定理推论）

wf（x+y+z+…）=af（x）+bf（y）+cf（z）+…≤x+y+z+…

同理可证，一定存在同态满射，因为整数内积运算满足正交性，不能同态单射，因为多元线性原像空间相对多元素数基底来说会缩域。x，y，…，为互异奇素数，其他为整系数，f为齐次多元线性素数函数，所有对应的多元线性原像空间都有确定的多元素数基底，确定的多元素数基底未必都属于所有对应的多元线性原像空间。

2.2整数不等量分割方程各项都有素因子就可进行点积逆运算。

通过点积逆运算得到一组含素数基础解系增广向量的正交基，当该增广向量含一个负偶数分量时，必线性相关，就能得到素数基础解系方程，而素数基础解系为最大线性无关，即x+y=z等价于rp+sq=2wt，其中p、q、w三元互素，r、s、-t为正整数，且p、q皆为所有奇素数，2m为可表偶数，即其偶数可以二元分割出所有的奇素数，p+q=2m就是x+y=z的最简本原解方程。当m仅为奇素数w时，存在p+q=2w就是x+y=z为龙头偶数时的最简本原解方程。

AX=0的零解集均可由解向量核空间p，q，w线性表出，系数向量A=（r，s，-2t）中的字母为任意正整数系数，所有偶数2wt可由X1的向量组p，q线性表出，A1X1=rp+sq=2wt，其中方程左右三项互素，通过伯特兰―切比雪夫定理可证得。因此一次素数二项式方程的基础解系乘以线性算子定可得到所有偶数的通解，等价于特征值乘以可表偶数可以得到所有偶数的通解，或者说是特征数2乘以二项式的均值n可得到所有偶数的通解。特征数等于特征值乘以特征向量维数。

（p，q，w）也叫原偶数分割方程的素数基础解系。有了最简本原解方程，就可以反过来探知可表偶数的更多性质。所有的偶数都可以用一个线性算子作用素数一次二项式而得到，而根据例外偶数的定义，它不同于可表偶数，不能用素数一次二项式的最简本原解表达，也就不存在最简本原解。于是就得到二元加法运算在可表偶数上封闭的引理，根据引理，对于例外偶数，2n元加法运算在可表偶数上都是空集，如此哥猜就成立。（详细证明见本书首篇论文《用重合法和相邻论可严密证明哥德巴赫猜想原题及相关猜想》）

同理，AX=0的原像空间均可由解向量p，-q，w线性表出，系数向量A=（r，s，-2t）中的字母为任意正整数系数，所有偶数2wt可由X1的向量组p，q线性表出，A1X1=rp-sq=2wt，其中方程左右三项互素，而2wt是全集偶数可通过伯特兰―切比雪夫定理证得。关于伯特兰―切比雪夫定理的证明有很多，这里还可以给出一个证明比拉马努金的思路更简单。

假如n与2n-2之间一个素数都不含，n为正整数，而两两每次互素的所有奇素数相加所得的偶数都能产生三元互素的奇素数因子，但所产生的偶数不会无穷累积同所有的奇素数互素，同所有奇素数对一定可判定是否有互素关系，但在假设条件下所关联的2n同所有奇素数对既不能判定互素，也不能判定非互素，因为小于n的奇素数两两相加不能得到可构造2n的奇素数因子，向大于2n-2的素数扩域组成素数对也不能得到2n能构造的奇素数因子，故无法判定所有奇素数同2n是否互素，这与所有偶数可判定与素数对是否互素相矛盾，因为可构造的素因子是互素的，不是该素数对构造的素数因子集与其他素数一定存在非互素关系（算术基本定理决定）。故假设n与2n-2之间一个素数不含是不真的，伯特兰―切比雪夫定理得证。互素互异关系的逻辑运算是数论中的重要工具。

于是就可证明斋藤猜想也成立，即A1X1=A1（p-q）=2wt，因例外偶数（p-q）是空集，故（p-q）=2wt是成立的。用斋藤猜想做引理，于是就可进一步证得，孪生素数猜想也是成立的，可用反证法证明。p、q为全集奇素数域，p0＞q0是充分大的两个有限素数，根据斋藤猜想p-q=2m可得相邻奇数的通解pr-qs=2，无穷无漏的素数对p和q是相邻奇数的素数基础解系。假如素数对p、q至少有一个q不大于有限素数p0时，则不存在最简本原解p-q=2的所有内积通解，即相邻奇数pr，qs必没有无穷无漏组解集，其中s也不许含大于p0的素因子（否则等价q含大于p0，素因子满足乘法交换律），这就必与存在无穷无漏组解满足pr-qs=2相矛盾，其中pr＞p0、qs＞p0。于是孪生素数必须无穷新增，否则与紧邻奇数间隔为2的无穷素数就无法无穷新增。它的最简本原解方程p-q=2的一对素数解集域必须无限成对开放，否则大于给定N的素数域所产生的相邻奇数对将无法无穷无漏，即有空缺的相邻奇数对无法生成。（详细证明见本书的第二篇论文《差值等于2n（n≥1）的素数对各有无穷组》）

根据以上结论，可表偶数的二元代数加法运算与2N元代数加法运算的连并是等价的，可表奇数的三元代数加法运算与3N元代数加法运算是同态的，可表偶数的四元代数加法运算与4N元代数加法运算也是同态的（阿蒂亚论文中的托德函数体现了四元数的非交换性，即体现了同态关系），继而可知可表奇数的N元代数加法运算与kn元代数加法运算都是同态的。因此通过对n的数乘能够得到同构等价关系的唯有2与n的数乘。这里的2比较特殊，所有的k元加法和k值数乘唯有二元加法运算能够获得所有的2n数，其他k元加法都不能获得所有的kn数，即两类运算非同构，这就是为什么在其他1/k直线上没有0点解的原因，因为加法和数乘运算所获得的数集无法均衡来构造0点函数。

这是宏观论证，以下进行详细证明。黎曼黎曼泽塔函数是长这样的：

ζ（s）=1^s+1/2^s+1/3^s+1/4^s+…=0；也可表示为：ζ（s）=1^-s+2^-s+3^-s+4^-s+…=0；还可表示成：ζ（s）=∑（1/n^s）=∏1/（1-1/p^s）

即一维素数域多项式。我们不从级数的连续量角度思考，仅从代数的离散量角度思考，右边不是趋于无穷大的偶数就是趋于无穷大的奇数，当s的实部为1/2时才能获得负全集偶实数-2R（此时极角为60，虚坐标所对应的模长是实坐标的2倍，故虚坐标是偶实数的分割，是素数基础解系的谐波），如此各项有正负值，于是收敛趋于0才成为可能。所有的偶实数等式都可以简化成素数因子等式，实数等式R1+R2=2R都可简化成两素数之和的等式r1+r2=2r，然后可通过内积素数向量的方式还原。根据哥猜获证，其等式左右的多项式是同构的，即左右任意组合都有匹配的映射，故黎曼黎曼泽塔函数1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+…=0时经解析延拓后有非平凡0点解。

阿蒂亚的证明思路大致是正确的，虽然没有完成终极证明，用一个更朴素的猜想证明另一个艰难猜想依然是有价值的。他意识到了黎曼泽塔函数实部Res为常数，函数才具有唯一对应的常数可收敛，否则就矛盾，反之亦然，这是他的反证法框架。只是底层依据不足，他甚至直觉到了，可用量子化分割中的“精细结构常数”来佐证黎曼泽塔函数的实部也应是常数，它们之间是如何关联起来的没细说。如果是用todd函数关联的，todd函数也没有得到数学界公认；而“精细结构常数”也缺乏数学上的表达，也缺乏数学证明，更缺乏常数与黎曼泽塔函数之间的关联逻辑推演。

用哲学、物理学等思想来启发数学思维是完全正确的，且是非常必要的，但不能把关联直觉类比用来代替数学定理以及数学逻辑形式。黎曼数学对物理学的影响极大，用物理学的发展反哺数学创新是应该的。相对论的底层数学是黎曼几何，量子论的底层数学则是黎曼代数，黎曼泽塔函数中的自然数n是离散化的时间流，虚部b就是连续化的物质和能量对象，但显示出来的连续化对象是一份一份的。我们把它称为弱连续量，因有离散化特征。其实只要阿蒂亚能够证明“若黎曼泽塔函数ζ（s）能且仅能收敛为一常量v则实部Res就必有一常数u与之映射”这一命题即可。也就是说：黎曼泽塔函数从定义域s实部1/2到值域ζ（s）是同态满射的；至于黎曼泽塔函数从定义域s实部1/2到值域ζ（s）也是同态单射的，则由解析延拓的性质决定，前辈数学家已证该命题为真。

黎曼通过伽马函数推得下列等式：

从等式很容易得到s取解析延拓部分值-2n时黎曼泽塔函数等于0，因为容易得到，也叫平凡解。而虚部解则不容易明显看出，叫非平凡解，但可以发现，若定义域实部有定值，函数值域的实部也是有定值的。也就是说，函数实部与虚部构成复平面上的解集轨迹，这个轨迹线条变化是保角的，那么虚部值的保角变换，在单位模长的情形下，90保角的余弦值就是函数值域的实部，cosπ/2等于0，唯有90时存在属于正负对称保角。非90时则无，可见黎曼泽塔函数更多情形是同态单射的。每个互异的黎曼泽塔函数实部Res常数都仅有一个互异的函数值ζ（s）常数与之映射。黎曼泽塔函数定义域实部取互异值，ζ（s）即对应取互异值。

于是可推得哈代的一个证明结论，临界线上只要存在有限个非平凡0点解，如果有后继新解，就有无穷个解也在临界线上，甚至还可推得比哈代更强的一个命题，跟实部1/2关联的所有虚部解都在临界线上。否则实部为常量的黎曼泽塔函数就会收敛得到一个以上的虚部解集，这与实部Res仅有一个常量对应另一个常量ζ（s）的判定矛盾。其中“如果有后继新解”还可证得，确有后继新解，用夹逼定理⑦的推论可证明，后文将提到，黎曼泽塔函数的差分算子越来越大及差分算子越来越小会双双逼近一个相同的中心，这个中心就是后继极值新解。这个推演过程与哈代的证明一样辛苦，但框架已一目了然。我们还是节省点笔墨，直接用哈代的证明结论。当然到这并没有完成黎曼猜想的全部证明，仅证明了有一条临界线上的所有解可满足方程要求。

2.3.黎曼泽塔函数实部生成元到函数为同态满射。

该命题证明相对同态单射来说则比较难，即可收敛于一常量的黎曼泽塔函数所有解都在实部为一常量的直线上。从函数保角性推得定义域实部为常数不容易，因为从分到合，确定性好保证；从合到分，确定性不好保证。也就是说，每个互异的ζ（s）常数都仅有一个实部Res常数与之映射，如果这个可确定，ζ（s）取互异值，实部Res即对应取互异值。若该命题为真，实部常量必须是1/2，就可同理证明，根据ζ（s）=ζ（1-s）的对称性，不选择1/2就会产生不止一个常量，这与实部仅有一个常量的判定矛盾，故实部常量只能是1/2。可见黎曼猜想的封顶证明就是黎曼泽塔函数同态满射这个命题是否正确，这个命题同哥猜是紧密关联的，用哥猜做引理，能成功证明黎曼泽塔函数同态满射的命题是正确的，如此黎曼猜想就获得了证明。

在多项式原函数求和与负扩域函数求和两者相加的多项式方程中，我们把负扩域求和看成是纯负扩域求和，而负数部分是多项式的均值乘以特征数。特征数是多项式均值数的倍数。其中A为线性算子，x为特征向量，x0为均值向量，λ为特征值，tλ为特征数，其中t为特征向量的维数。当特征向量x为素数二项式即二维向量时，λ特征值为1时，特征数λt就是2，该公式是：

Ax=λtx0

λt的这一性质是由黎曼泽塔函数的解析延拓性质决定的，有三点，即唯一性、共轭性、保角性。唯一性说的是扩域值的后继相邻延伸是唯一的；共轭性说的是扩域值的实部和虚部都有共轭特征；保角性说的是扩域值的保角变换是恒定的，角度所对应的斜率就由特征数生成，它的生成元是函数自变量的实部常数Res，根据特征数2可推出原函数的斜率是1/2，把方程左边的斜率移到右边就变成斜率是2的均值函数，这就与哥猜引理一致了：线性算子作用素数一次二项式与特征数2作用素数多项式的均值等价。

其中解析延拓所产生的负数项的通项表达一定是均值变量的数乘，其中黎曼泽塔函数的实部值决定了保角性，是均值变量的系数。唯一同构时，负数项的通项表达就是均值变量的数乘结果-2n。实部选择非1/2时，正负项的绝对值必同态，因为正数项不是均值数乘产生的，而是互异素数多项式的互素线性映射产生的，故始终不扩域不缩域，而负数项选择非2数乘均值变量时必缩域。同态时，作为负数项的通项表达，其均值n的数乘对象一定不是-2，同态时负数项的通项表达必与-2n互异。因为均值n的数乘对象完全由实部Res决定，实部Res选择非1/2时，正数项的级数与负数项的级数绝对值必无法同构。而两个正负同态关系的通项其级数之和一定不等于0，故临界线外必无0点解。

2.4.Res=1/2的直线上存在无穷多个0点解

已完成了哥猜证明，并分析了黎曼猜想与哥猜紧密关联。本章节就来详细展开分析，黎曼猜想是如何与哥猜关联起来的。虽然黎曼猜想比哥猜更难，但哥猜比黎曼猜想更重要，因为越是基本，应用越是广泛。以下我们就来考察两者之间的关联。为何负偶指数才有平凡0点解？因为经解析延拓后唯有偶指数时转幅存在2π值，即出现了同构特征值，数列等式才有收敛为0的可能，也唯有取负偶指数才可收敛于0，该结论黎曼已证明。如果仅仅取正就是发散的，故进行内积逆运算就无法产生等式同构，故无正指数解，也无奇数解。为何实部为1/2的复变量有非平凡0点解？还得从偶数不等量互素分割方程说起。

根据等式1+1=2，我们可得到一系列素数向量的内积等式。用奇素数全集向量（p、q、w）或奇数全集向量（a、b、c）内积该等式的增广向量，已证左右同构（即前文已完成哥德巴赫猜想的证明），故在此基础上构造出的级数增广向量线性组能实现线性相关，可收敛于0，因为左右完全对称同构。二元或多元分割全集对象与2倍均值有同构关系，二元或多元分割全集对象与k倍均值仅有同态关系。

1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+1+1+1+1=5，…，1+1+1+…+1=k

用奇素数全集向量（p1，p2，p3，…，pk，qk）或奇数全集向量（a1，a2，a3，…，ak，bk）内积该等式的增广向量，右边的3n不能囊括左边的三元加法之和，比如有些奇数就不是三倍数，故左右非同构，已证仅同态关系，级数的增广向量就无法线性相关，下同，左边都是密集偶数或密集奇数，右边则是疏松的k倍数，故在此基础上构造出的级数增广向量线性组就不能实现线性相关，不能收敛于0，因为左右不对称。我们可等价变换得到素数一阶多项式本原解方程，其中素数一阶奇项式本原解方程其中一项可不要求互素。

f（x1）+f（x2）=2f（x）；f（x1）+f（x2）+f（x3）=3f（x）；f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）=4f（x）；…f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）+…+f（xn）=nf（x）

其中f（x）是多项式均值数，前面的系数是特征数，通过特征值的函数计算得到。只有第一式是左右同构的（哥猜获证的结论），其他都是左右同态的，且左到右是同态单射的。因为f（x1）+f（x2）=f（x1+x2）=2f（x）是可线性变换的。

左边函数解集相对持续密集，右边函数解集随着特征值变大越来越疏松。第一式方程左右两边同时减去2f（x），于是得到：f（x1）+f（x2）-2f（x）=0（而这正是黎曼泽塔函数解析延拓的特征）

原级数计算这样重排是违规的，但解析延拓后，这样计算是按规则进行是允许的。从以上交错级数的计算中不难发现，有负号的都是偶数项，当然奇数项也可以，偶数项把公约数2抽出，就可以得到自然数n数列。其他还有3倍数项，4倍数项……n倍数项变号的，都可以把公约数抽出还原得到自然数数列，从而得到各种收敛极值。自然数的幂级数为何会产生正负项呢？这是由指数中的虚部决定的，虚部决定黎曼泽塔函数轨迹的转幅大小，实部决定函数轨迹的模长，虚部值的转幅在2π中进行延伸时，正与负就会周期出现。而模长确定了原级数变号的周期值发生在哪里，故实部对应的是原数列通项的特征数或特征值的函数。

而此时的方程左边新添加的负数项，正是原方程左边的解析延拓项，解析延拓后变负数的项正是偶数项发生的。因为级数运算是密集全集元素相加或相乘，而同态关系左右为单向蕴含，仅子集部分连和，当余子集的元素连和不等于0时，左右相减就不等于0，就无法通过一个“发散和”减去另一个“发散和”来得到一个有限值0。唯有同构关系，才有机会获得对称数而左右相减收敛于0，即二元或多元相加与偶实数增广项存在同构等值，才有0点解。当然同态关系的特殊组合也有可能左右相减收敛于0，当且仅当子集和余子集都分别收敛于0时，但这不符合黎曼泽塔函数的通项表达。而解析延拓后的新算法则定义了线性算子作用下的素数多项式可减去一个特征值作用下的素数多项式“发散和”。

由于这两者之间的同构性稀有，当且仅当素数一次二项式时才存在同构关系，其他情形皆为同态关系。两边是同态关系的连和再相减，绝不会等于0。这是临界线仅通过1/2处的原因。级数的增广项kn选择不同的系数k可决定是否级数收敛，其中k≠2时，黎曼泽塔函数就无法收敛。因为偶实数分割方程是左右同构的（哥德巴赫猜想获证的推广），而其他k倍实数分割方程是左右同态的（素数基础解析方程的推广）。取偶实数时，级数的指数复变量实部Res对应的是1/2，取其他k倍实数时，级数的指数复变量实部Res对应的是非1/2，故左右相减无法收敛于0，也就没有非平凡0点解，因实部无任何值对应可满足方程。

ζ（s）=1^-s+2^-s+3^-s+…+n^-s将（n^–s+…）项简化为增广项，得到某极值的两倍即2n，其他无穷项满足偶数多项式分割，趋于无穷时偶数等于2n，或奇数等于2n+1，是多项式相加，无论多少元相加，最后都趋于极值2n；但如果增广系数项等于k时，增广系数项则不会等于2n数，于是ζ（s）就无法等于0。因为增广项非2系数的等式都是同态数，而非同构数，故增广项的值与无穷项连和的值就不可能因为同构而可以相减为0。在k元加法运算中，k值的倒数就是Res，此为实部1/2的几何意义。实部的1/2既有所占的权重意义，又有分割的项数意义，权重复原与分割复原有两类关系，完全重合为同构，不完全重合为同态。等式右边为权重复原，等式左边为分割复原。实部作为权重，它的倒数是总量的系数，作为分割，它的倒数是总量的项数。

因此所有的非平凡0点解就都落在了Res=1/2的直线上，这就意味着2n的总集可两项分割。负偶数s解表达是平凡0点解，与其等价的复数s解表达，就是非平凡0点解。它的几何意义是什么呢？就是偶数（对称数集）的两项互素分割（不对称数集）与偶数（对称数集）是同构的，即用素数向量无限内积1+1=2的等式后仍是等式同构的，正因为有此条件，移项后的数列通解之和才有0点解，就算不是数列的通解之和，只要是多项式无限集族的通解是左右同构的，它们的和就一定会是同构的，故也会有0点解。

而其他的三元分割四元分割乃至k元分割与kn数就无法同构，而是左右同态的，即用素数向量无限内积1+1+1+…+1=k的等式后不是等式同构的，而是同态的，在此条件下，移项后的数列通解之和不会等于0，故没有0点解，其多项式无限集族的通解也不是左右同构的，而是同态的，它们的和就一定不会是同构的，故不会有0点解。因为解析延拓而产生的负数项都来自对称分割的项，即用特征值的关联数去数乘所得到的项，而用线性算子内积所得到的项，都是互素分割的项，因而更加密集。

也就是说，当且仅当k=2时，k值数乘与k元分割是解集同构的，而其他都是同态的。极角等于60时，k=2时的几何意义是，模值是实部数轴值的2倍，此时分割模值的谐波虚部数轴值是左右同构的，其他极角的模值与实部数轴值之比都不是2倍，且都不是左右同构的，而是同态的。左右解集同构时，各自解集的连和才能最后相减得0；左右解集同态时，各自解集的连和最后相减则无法得0，故方程无0点解。有人会问，正负解集不同构，但正负解集的两类连和可能会同构，这是可能的。但也只有在解集既不同构也不同态的情形时，存在正负两类解集分别连和可能有同构关系，但两个正负解集的绝对值是同态关系时，两类连和是不可能同构的。

2.5.ζ（s）=ζ（1-s）=0决定了黎曼泽塔函数正负解集只有同构关系实部才有唯一常量

在Im（s）=bi中，b是被强条件界定的，即ζ（s）=ζ（1-s），首先它是以Res=1/2和Ims=0对称的，另外b值的两两相加可以获得所有偶数，也就是说非平凡0点解的任意连线可以得到所有偶数值，含能囊括所有素数因子的所有可表偶数。虽然临界带上非平凡0点s解皆以Res=1/2或k（0＜k＜1）直线对称，但不存在两个等值的虚部解。如果该命题成立，黎曼猜想就成立。

现假设有两个虚部等值但实部不等的s解，那么一定有实部不等于1/2。那意味着0点解ζ函数方程的等式两边的每一项可相应添加素数因子，等式仍相等。由于虚部值是确定的，因此每一次的素数因子添加即实部增减非0数值，只会带来等式一边的单调递增或单调递减，等式不可能仍然相等。这与假设存在两个等值的虚部解矛盾，与ζ（s）=ζ（1-s），实部关于y=1/2共轭对称，虚部关于x=0共轭对称相矛盾，故临界带上不存在两条以y轴平行线为对称的两虚部共轭的非平凡0点解，而实部不相等的非平凡0点解更是无法实现，因为那样不可能同时满足虚部值的对称性以及素数因子的谐波分布。

因此所有非平凡0点解只能落在实部为一个常数固定值的直线上，且常数直线范围仅在0＜Res＜1的临界带上。刚已证明如果实部可允许更多常数，就会不存在可表偶数与全集偶数同构的选项，就会与哥猜获证发生矛盾。哥猜获证的结论是，用2数乘以两素数的均值m与全体偶数是同构的，而用非2数乘m与全体偶数是同态的，若选择后者也同构，就是选择哥猜不成立，于是矛盾。因此实部只能选择为一个固定常数，如果还需要实部关于y=1/2共轭对称，那该常数也只有取1/2，1-1/2还是1/2，当然满足实部关于y=1/2共轭对称。哈代证明了在Res=1/2的临界线上存在无穷个非平凡0点解。临界线上的对称性是实部自身与实部自身的对称，故不存在两个实部不同虚部等值或对称0点解。

那是否存在别的临界线呢？临界带上的非平凡0点解并不都以Res=1/2的直线对称，如，是否存在Res=1/3或Res=1/8的临界线，但这些都不是临界带上的中值。现假设存在Res=k（非1/2的常数）是有非平凡0点解的临界线，那么所有虚部解一定没有交集。又因为Res=1/2时的虚部解囊括了所有的素数因子，因此虚部两点连线可以获得所有偶数。其可推导的引理是，由于a、b都囊括了所有的奇素数因子，故a+b可以获得所有的偶数，这是前文的一个推论。在自然数数对平面中，虚部的偶数对应实部的1/2，才能与一维线条中的自然数拓扑等价，因此与实部对应的关联虚部数域，会因实部不同而不同。实部非1/2时，所对应的关联虚部数域就不是全体偶数。而黎曼函数方程显示，虚部解集的连线是一定可以得到所有偶数的，而实部不是1/2，所对应的关联虚部数域就不是全体偶数，故不能满足收敛为0的条件要求。

唯有最大的对称数集2m才能完成等量分割满足解析延拓后收敛为0。其他数值km（k≠2）要么不是对称数集，要么不是最大的对称数集，故无法完成解析延拓后对等收敛，可见系数2对构造最大对称数集具有唯一性，因此实部常数对构造最大对称数集也具有唯一性，为了满足ζ（s）=ζ（1-s）的实部关于y=1/2共轭对称，实部只能选择为1/2。因为实部常数首先必须存在，否则就没有非平凡0点解；其次实部常数必须唯一，否则会与哥猜获证发生矛盾，实部为1/2时代表素数或素数的倍数二元相加所得到的偶数与解析延拓用来抵消的“发散和”全集偶数同构，非二元相加时所获得的子集偶数“发散和”只能与全集偶数“发散和”同态，因为实部常数是“发散和”的权重值，权重值发生变化，“发散和”就发生变化，而一变化就不能同构，就会让哥猜命题消失，就不能收敛于0，故实部只能为一恒定的常数。

实部既然唯一，就不能有共轭差非0的对称，故根据ζ（s）=ζ（1-s），实部只能选择落在临界带上的Res=1/2的共轭中值线上，于是黎曼猜想获证。本章节的核心思想是，找到黎曼猜想与哥猜的关联，根据哈代的结论，黎曼泽塔函数的两类正负“发散和”是存在同构的，说明Res=1/2作为特征值的函数的生成元同以2为生成元的特征值的函数等效，在分析线性算子作用多项式与特征值的函数作用多项式的均值存在同构关系，是以1/2为生成元得到特征值的函数f（1/2）的，生成元1/2一改变，同构关系就变为同态关系。这句话改变下表达就是：线性算子与特征值的函数倒数1/2相继作用多项式则与多项式的均值存在同构关系，其中f（x）=A，f（n）为多项式通项原函数，f（n^-s）为多项式均值原函数。实部Res=1/2是虚部线性算子中的新添因子，实部常数的倒数，才是多项式均值的系数，经通项求导，或者求差商算子，用洛必达法则就可以显示出来，正因为有此1/2因子，与多项式的均值才有同构关系。

同理，以1/2作为生成元，存在特征值的函数f（1/2）才使两类“发散和”有同构关系，有非平凡0点解。简单地说，就是做线性算子的系数时是1/2，做特征值的函数的系数时是1/2的倒数，特征值的函数乘以多项式的均值等于特征值乘以多项式，特征值的函数记为特征数t。素数一次多项式等于特征数乘以多项式的均值，是通项的最简本原解方程，只要线性算子的各元数域是自然数全集，特征数等于2，那么作用素数一次多项式后就一定与多项式的均值乘以特征数同构（这个结论是哥猜的推论）。

由于虚部b数属于含所有代数数的实数，n属于所有自然数，故黎曼泽塔函数中的多项式线性算子是满域的，故两类“发散和”同构，正因为如此函数的保角值是π/2。一旦特征数取非实部常数1/2的倒数时，两类“发散和”立马变为同态关系，函数的保角值就不一样了。哥猜证明了，唯有特征数为2时，两类“发散和”才有同构关系，而特征数2是由实部为1/2的生成元唯一决定的。取非1/2时，特征数不再是2，则两类“发散和”不再有同构关系，而立马变为同态关系，因此级数和必不等于0。生成元与函数的实部映射互异就得到了证明，故0点非平凡实部解只能存在唯一常数。

既然如此，黎曼通过解析延拓发现黎曼泽塔函数延伸定义域轨迹具有唯一性、共轭性、保角性，而我们可以证明所映射的值域轨迹同样具有唯一性、共轭性、保角性，只有实部Res取1/2时才能同时满足以上要求。

哥猜获证引理下的保角性映射决定了，黎曼泽塔函数解析延拓后的级数之和，在某一特定条件下会收敛于0；伽马函数下的共轭性映射决定了，实部有解就有两个或更多对解；素数多项式均值函数同构同态下的唯一性映射决定了，生成元和函数实部必有互异映射，函数实部唯一，生成元实部必唯一，特征数互异则函数互异。如此实部只能是常数，并须自身与自身共轭，还得是特征数为2的生成元，此时的正负发散和才有同构关系，才会收敛于0，舍此皆同态，不收敛于0。故可判定Res=1/2的临界线外必无非平凡0点解，因均值和特征数发生了变化，数乘与点乘不再有同构关系，如此黎曼猜想获证。

有必要说说为何黎曼泽塔函数的级数发散和反映了特征数和本征值的样貌。本来发散级数是不好求和的，但数学家为了考察级数的某些特定性质，就规定了一些新算法，让发散级数之和收敛了。这些算法有共同的特点，就是找到各种形式的均值数的匹配系数，从而来确定解析延拓项添加的级数和，然后同原有级数和相加，再求各种统计均值的特征数。切萨罗和是求算术平均数乘以个数，阿贝尔和是二阶切萨罗和，拉马努金和及黎曼泽塔函数求和要更复杂些，但一定是新扩数域体现了函数的本征值，物理学用它来考察量子性态。

这是本文提供的第二种证明黎曼猜想的方法，即使用哥猜获证结论。第一种证明，使用的是“浓缩实部常数”，它可确定复变量的本质是单变量，由此来证明同构时的本原解实部仅有唯一常数解，从而根据伽马函数只能取中值得出Res=1/2。如果不用获证的哥猜做引理如何证明黎曼猜想呢？以下3.0.是第三种证明。可以用线性代数中的“常量斜率和变量导数”决定是否“线性相关和线性无关”的思想完成黎曼猜想的证明。

以上都是用线性算子和特征数就把黎曼猜想和哥德巴赫猜想关联起来进行思考的，即用抽象代数中的“同构关系和同态关系”决定是否“有平凡0点解和无平凡0点解”的思想证明了黎曼猜想。

3.0.黎曼泽塔方程的二项式展开出现变量导数

用复指数变换证明临界线外没有非平凡0点解。根据复指数变换，存在以下等式关系：

当Res=1/2时，ζ（s）=0有无穷个非平凡0点解，哈代等已证。

从以上黎曼黎曼泽塔函数变换式不难发现，实部和虚部的收敛性质相似，解析延拓后，正弦余弦运算产生了负数，某类数项数列出现负数值，可正负交错条件收敛于0，虚部取0、实部取负偶数时，级数收敛于0的，这是平凡0点解。根据已知证明，实部取1＞Res＞0的偶实数时，即临界带上存在有正负号的解析延拓交错级数，具备条件收敛，这是非平凡0点。我们来看黎曼泽塔函数的实部和虚部的通项表达，而不是定义域实部Res的通项表达：

对以上两式进行求导，系数1/2就会显示出来，这就说明了，线性算子作用素数多项式，再经作用后，就会与多项式的均值同构等价。实部常数的倒数乘以均值可还原得到多项式。

其实还可以通过差分算子（相当于离散量中的导数）来证明黎曼泽塔函数非平凡0点解只对应实部为常数。实部求导，就是实部的差商算子Δfr（n）了，可得到重要系数-1/2，由此可得到特征值的函数2，即导数的函数2。切萨罗和、阿贝尔和、拉马努金和都是解析延拓和，这些都不是普通级数求和，普通级数求和不能违背黎曼级数重排定理，条件收敛不可使用交换律和结合律，但解析延拓求和允许条件收敛的重排，可一次重排求均值，具唯一性，开放了对其中任意类无限数列使用结合律，仍不能使用交换律，并引入了均值或高阶均值计算。

从这些定义规则中，不难理解，解析延拓求和就是线性算子作用下的自然数级数与负数项特征数作用下的自然数级数（含均值）两者之间的求和以及迭代n次的高阶求和。我们来看自然数的求和，高斯的办法是，先求出自然数的均值（1+n）/2，再乘以自然数均值的个数n，就可得到和值，均值的个数n就是特征值的函数，负数项特征值作用下的自然数级数（含均值），就可以理解成特征值的函数作用下的级数均值。素数一次二项式或多项式的线性算子是（a，b）或（a，b，…），a和b…都属于n，特征值的函数是k，k也属于n，均值是（1+n）/2。线性算子作用下的自然数级数减去特征值的函数作用下的均值，特征值的函数作用下的均值在二项式时不就是2作用n吗？在三项式时不就是3作用n吗？在多项式时不就是k作用n吗？素数一次二项式、素数一次三项式、素数一次多项式在线性算子的作用下，其和值在较大值时一定是2n或2n+1，可见两边的数列通项只有在素数一次二项式时是左右同构（相互蕴含），两边相减可等于0，其他情形左右同态（单向蕴含），两边相减则不等于0。

整数域有这样的性质，有理数也同样有这样的性质，因为整系数多项式可合理生成有理数以及代数数，因此线性算子在代数数数域里，且特征值的函数为2时，黎曼泽塔函数存在收敛于0，特征值的函数非2时则不存在收敛于0。凡给定的通项表达，所有的代数数系数多项式都可以等价变换得到整系数多项式，当简化到线性算子作用素数一次二项式时，负项数列的特征值函数是唯一的，改变它，等式左右互素的关系就会改变。

实部常数的倒数是分子为1时的分母数，当该分母数取大于1/2的分母2时，二项式级数展开后的每个自然数含i的各项，系数会发生加速递减变化，本来实部指数趋于0的多项式，此时便不能趋于0，多项式的绝对值会随着实部常数的递减而远离原来的绝对值0差值，使差值绝对值增大。实部常数的倒数是分子为1时的分母数，当该分母数取小于1/2的分母2时，二项式级数展开后的每个自然数含i的各项，系数会发生加速递增变化，相当于系数通项式的导数发生变化，本来实部指数趋于0的多项式，此时便不能趋于0，多项式的绝对值会随着实部常数的递增而远离原来的绝对值0差值，使差值绝对值增大。关于这个性态，通过线性代数以及数学分析可以获得证明。函数AB，函数BC，函数A的极限是X，函数C的极限也是X，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。

以下是夹逼定理的推论：b的邻域递增改变量Δb的绝对值单调递增，其函数值越远离A且单调递增；b的邻域递减改变量Δb的绝对值单调递减，其函数值越逼近A且单调递减。那么根据夹逼定理，b的函数极值等于A。并判定b+Δb与b-Δb之间有函数极值。因为b+Δb的极限是A，b-Δb的极限也是A，而b在两数之间，故b的极限定是A。此定理与夹逼定理不同点在于，它是通过单调递增和单调递减来获得最小改变量区间的。它不能精准算出极限值，但可以不断获得最小区间有极值存在。比如四三不靠，三心二意，都是用区间判定极值的语言：通过夹逼定理的推论算法，我们可以逼近算出黎曼泽塔函数紧邻的新的非平凡0点解，可以通过划定区间用有限步算出单调性，从而判定是否蕴含新解。

模长定向变化，转幅定向变化，以保持实部不变，0点条件下延伸时会靠近一个新的虚部值，再继续延伸时，就会越来越远离该新的虚部值，可见在此区间存在一个新的虚部极值。可以用数学归纳法证明，这样的算法是可持续的。这也只能证明虚部可紧邻延伸无限个解在临界线上，还不能证明0点非平凡解都在1/2的临界线上。用哥猜证明黎猜须借助的引理是，不同构的两个同态通项它们的级数和一定不同构。但不同构不同态的通项它们的级数和是有可能同构的。

3.1.通项导数（差分算子）的生成元当且仅当Res=1/2时存在线性相关

黎曼猜想的奥秘是，泽塔方程的多项式连和只有一个系数选项可以同构表达2n，有同构关系才可构造解析延拓后的非平凡0点解，否则同态关系时多项式只能构造不等式。

这个线性代数的思想就是：在原函数求和与负扩域函数求和两者相加的多项式方程中，若实部Res所在位置是多项式方程系数向量平直的一维直线斜率，所对应的级数向量线性组合是线性相关的，那么斜率加改变量的级数向量线性组合就是线性无关的；若改变量Res所在位置是多项式系数向量弯曲的高维流形导数，所对应的级数向量线性组合是线性相关的，那么导数加改变量的级数向量线性组合就是线性无关的。

因为斜率是导数或高阶导数的生成元，在亚纯函数中，互异斜率会对应互异导数，互异斜率会对应互异函数，自然互异导数会对应互异函数。这个性质可由洛必达法则推导得到。如果不能得到常数，还可以迭代多次，进行多阶求导。

黎曼泽塔函数虚部Ims的所有解都是与离散点有一一映射关系的极值点，故称是弱解析的连续量。原函数与负扩域函数的极值之比等于A，即：f（x）-Ag（x）=0，-1/Af（x）+g（x）=0，g（x）为扩域函数。A就是黎曼泽塔函数复指数函数的实部为1时的均值函数的特征数，其中扩域函数就是均值函数。特征数生成元改变为A+ΔA，则f（x）就发生改变，f（x）-Ag（x）也随之发生改变，也就是说会等于非0。这个结论可由选择公理来印证，新算法会带来新的数集，满足超限数学归纳法，而强连续量本文不予探讨。含正弦值因子项的都是虚部，显然当每项有两处因子的指数发生变化时，可等价于级数系数因子的导数发生变化；或者说，级数系数因子的曲率相关量发生变化，这个变化量因子系数，我们管它叫导函数向量，该导函数向量跟级数向量的线性组合除有一个切点斜率满足线性相关外，其他都是线性无关的。

根据通项导函数未变化前，级数的每一项都是剩余项向量的线性组合，可知原系数向量跟级数向量的线性组合是线性相关的。这个可由哈代证明过的黎曼泽塔函数存在无穷个非平凡0点解而得到证实。同构关系的多项式，各项经数乘和内积运算变换后，多项式的解集仍然还可以是同构关系，因每一次都是纯量数乘，但同构关系的多项式，各项经用导数性质的对象叉乘和点乘变换后，多项式的解集立马都变成同态关系了。原级数的线性相关就会变成线性无关了。数乘是各项均衡变换，故可延续同构关系，内积是各项不均衡变换，但可做到互补均衡，故也可延续互补关系，但导数的内积和数乘就没有这样的性质，它不是各项的均衡变换，也不是各项互补但左右总量均衡的变换，它是随着各项变量而加速变换的量，由于导数的马太效应，使大值更大、小值相对更小的性质，同构关系的均衡不再继续。

3.2.线性相关的通项导数（差分算子）若微调一下立马变线性无关

既然原级数系数向量是线性相关的，又已知该级数线性组合不是通过极限获得0值的，只能是正负值抵消得0，即解析延拓后新产生的正负交错级数从而有了条件收敛。因此可判定，正值项级数和与相反的负值项级数和相加后会得0。因为一阶素数二项式时存在偶数同构关系，这是哥猜引理。不通过这个引理，用导数互异就导致函数互异，函数互异就导致导数互异来证明，线性相关的通项导数（差分算子）若微调一下立马变线性无关。

我们来看黎曼泽塔函数的差分算子。不难发现高阶素数多项式的差分算子，其重要生成元是素数的项数，即特征数，也就是导数差商A就是斜率。当项数超过2时，差分算子就不是原斜率了，而是加上了改变量的斜率或者是加上了改变量的相应导数，正负项不再是原等值变化的单调递增，而是一边越来越大。那两边就是同态关系了，故求和相减后不能收敛于0。只有差分算子等价于一阶素数二项式时，黎曼泽塔函数才是正负同构等价的。

f（x）的n阶向前差分公式为：

当系数向量的通项式导数因子发生变化后，级数较小项与级数较大项的和值就会随之发生变化。因为级数系数多项式的导数单调性变化会随着级数值的导数增大而加倍增大，于是级数正负项的和值绝对值增大。由于导函数在各正项值和各负项值上的缩放能力因项值不同而不同，故除1/2外的级数各项指数无论怎么变化，级数的和值都不能得0，因此级数各项指数1/2外的导数所构造的系数向量必跟级数向量的线性组是线性无关的。

通过差分算子的通项再算差分算子，不断迭代进行，就会得到差分算子常数，这个算法也可以用洛必达法则进行多阶求导运算，得到常数A，或其中一个重要公因数。对黎曼泽塔函数求导，会得到重要斜率常数1/2，可见实部常数Res=1/2是黎曼泽塔函数中导数的生成元，改变1/2就是改变黎曼泽塔函数中导数的生成元，Res互异，黎曼泽塔函数的导数即互异。导数互异，求和所得到函数就互异。原1/2对应函数0点，非1/2就对应函数非0点。在多项式原函数求和与负扩域函数求和两者相加的多项式方程中，我们把负扩域求和看成是纯负扩域求和，是特征数为1的均值数函数求和。而原函数的斜率是1/2，把方程左边的斜率移到右边就变成斜率是2的均值函数，这就与哥猜引理一致了：线性算子作用素数一次二项式与特征数作用多项式均值等价。

若不用这个等价关系证明，可用洛必达法则得到证明。洛必达法则与算术基本定理有等效作用。给定数的素因子是确定的，等比增减仍是一样。黎曼泽塔函数的充分性证明。根据洛必达法则，若斜率互异，则导数有一一映射互异；而导数互异，则原函数必有一一映射互异；原函数互异，原函数解析延拓后的连和级数必有对应。解析延拓后求和值即原函数减去均值函数的差值必对应，也就是黎曼泽塔函数值必对应。现已知斜率为1/2时，原函数减去均值函数的差值为0，并有无穷组虚部解，哈代已证。即临界线上存在非平凡0点解，但并未证明所有非平凡0点解都在临界线上，还不能判定，斜率为非1/2时，解析延拓后求和值一定不能为0。黎曼泽塔函数的必要性证明（重点）。根据洛必达法则，若黎曼泽塔函数值互异，则原函数必有一一映射互异或多重映射互异（非同构非同态则不能排除有多重互异，但非同构而同态，则必有一一映射互异）；原函数互异，导数必有一一映射互异（虽然可积不一定可导，但因只有自然数根，故一定是可导的；）

导数互异，斜率必有一一映射互异（因只有自然数根，故一定是可导的）。于是不含1/2常数的导函数向量，跟级数线性向量的线性组必线性无关，此时的黎曼黎曼泽塔函数就没有非平凡0点解。也就是说，当Res＞1/2，Res＜1/2时，黎曼泽塔函数都没有非平凡0点解。这个结论获证，说明所有的解都在临界线上，于是黎曼猜想就得证。黎曼猜想证明了一件事：pj+pi=2n的哥猜等式未证时左右一定同态、可能同构；但如果∑（pj+pi）=∑2n，且∑（pj+pi）≠∑kn（k≠2），此时等式左右互异组合连和后仍数值相等，则pj+pi=2n等式左右一定同构，把作用素数多项式的线性算子带上也是如此。而黎曼猜想中的解析延拓后出现的负数项正是均值函数的扩域部分，即特征数乘以均值函数除以项数所得到的数集。解析延拓求和，其本质与广义切萨罗求和是一致的，都是一次确定重排后求极限均值。

λtx0是通项函数，当项数趋于n时，均值通项函数是λt，正项均值就是2λ，正负项均值等于2与特征数之差再乘以特征值，即（2-t）λ。当特征数取非2时，黎曼泽塔函数不再有0值，即pj+pi=kn（k≠2）一定不是左右同构等式。有同态关系的通项其特征数当且仅当为2时它们的连和才有等值关系，那么它们的通项就定有同构关系。洛必达法则完成互异映射的证明，与哥猜做引理完成同构同态的证明有等效性。因此哥德巴赫猜想就会因黎曼猜想获证而成立。用黎猜证明哥猜须借助的引理是，同态的两个通项若级数和相等则一定通项同构。

这一线性规律与哥猜引理很相似。只不过哥猜引理更明确，线性相关的特征数是2，而这一线性规律是建立在假设的基础上的，若函数的生成元k有线性相关，则函数的生成元k+Δk就线性无关。现在已知哈代证明了有无数个解在临界线上，故生成元Res=1/2存在线性相关，即有0点非平凡解，那1/2+Δk就线性无关，无0点非平凡解。如此可证明，所有解都在临界线上了。于是也就可以反过来证明，线性相关的特征数是2，这就可推理出，例外偶数是空集，线性变换不扩域，据此就可以证明，哥猜也成立了。可见哥猜、孪生素数猜想与黎曼猜想三者是可以相互证明的等价命题。

4.0.黎曼猜想获证的逻辑导图

黎曼猜想获证的关键是，必须理解解析延拓究竟在哪些具体数值上改变了原运算。我们知道在解析延拓的前提下，存在：

1+2+4+8+16+…+（被扩域的负数）=-1根据等比数列的公式，1+x+x2+x3+…=1/（1-x），把x=2代入，就可以得到-1值。这就是解析延拓的内核，可以看到1/（1-x）在除了1以外的点都有定义，而1+x+x2+x3+…只有在x的绝对值小于1时有定义，而且在有定义时的无穷多个点上都相等。既然1+x+x2+x3+…的定义域没有1/（1-x）范围大，于是就添加了一种新运算规则来唯一映射，黎曼管它叫解析延拓。以此来考察发散函数的内在不同性态，就如同为了判断无色无味的水有什么性质，于是就添加试剂来检测一样。无须困惑本来发散的怎么就变得不发散了，因为有新内容参与运算。

其他级数的解析延拓求和，皆可看成是该算法的线性算子内积下的结果。黎曼泽塔函数就是解析延拓下自然数的各种幂级数求和，等价于解析延拓下2的幂级数求和，再映射一个奇数向量，然后再加上一个奇数级数求和，而奇数向量都有一个含特征数因子的特征值匹配均值与之对应，而跟特征数关联就是黎曼泽塔函数的实部解，当Res=1/2时，它能得到均值的2倍，实部的倒数就是均值的倍数，就是特征数，而偶数项的奇数级数求和所得到的正数部分始终是均值的2倍（此为哥猜获证结论），解析延拓部分的负数则是随特征数不同而不同的（此为哥猜获证推论）。即：

（1+3+5+…）+（1+x+x2+x3+…）A=（1+2+3+…）+1/（1-x）A偶数部分经解析延拓，得：（1+3+5+…）+（1+x+x2+x3+…）A=（1+2+3+…）+1（1-x）A≥0（取x为2）

A中的特征数为2时函数等于0，此时线性算子A的特征值等于2n，奇数级数求和亦为2n，特征数不为2时函数不等于0，此时线性算子A的特征值等于kn，k≠2。即实部非1/2时，函数没有0点解。A为奇数线性算子。方程左边前项的奇数级数求和，与左边后项的偶数级数求和是项数对等的。奇数求和添加幂级数亦如此，前项不变，后项变。

4.1.总结下黎曼猜想的证明：

1.哈代已经证明黎曼猜想有无穷组解落在1/2的临界线上（解集的无穷性已获证明，解集的无漏性尚待证明）。

2.黎曼猜想的所有解集必须落在Res=某一常数的直线上，且在0＜Res＜1临界带上。介绍须用新数学工具邻函数。

3.除二元运算与匹配的数乘2m同构外，k元加法运算仅与所有匹配的数乘km同态而不能同构，从而宏观上证明了复变量Res=1/k（k≠2）时都无法构造出0点解。多元分割全集对象的2倍有同构关系，多元分割全集对象的k倍仅有同态关系，这是黎曼猜想成立的关键内核。当年黎曼提出该猜想就是为了试图求证哥猜而变换出的一个表达式。由此可证明，黎曼泽塔函数所有值域解集若是一个常数，则黎曼泽塔函数映射的所有定义域实部解集也必是一个常数。

4.黎曼泽塔函数的值域若解集为唯一常数，则对应函数的实部解集为唯一常数。故临界线外的解集都不是0点解，黎曼泽塔函数0点上的所有解集就只能在临界线上。黎曼泽塔函数值是常数，实部值即常数，黎曼泽塔函数值取互异常数，实部值亦必取互异常数。实部常数与黎曼泽塔函数收敛值是双射关系。以此结论找到哥猜与黎曼猜想之间的关联，可推理出黎曼猜想获证。这是第一种证明。

5.用二项式定理展开公式变换表达黎曼黎曼泽塔函数中的指数复变量。函数展开显示了Res常数在系数向量中的相关位置，它是级数通项中的导数生成元，是切线斜率。若斜率改变，则导数改变；若导数改变，则函数改变。函数系数向量各分量改变斜率因子，则可以让线性相关的线性组合不再继续线性相关，但系数向量各分量改变导数因子同样不可以让线性相关的线性组合继续线性相关，而是全部变成了线性无关。这是第三种证明。

6.我们来看黎曼泽塔函数的差分算子。不难发现高阶素数多项式的差分算子，其重要生成元是素数的项数，当项数超过2时，差分算子就不是可同构的斜率函数了，由斜率生成元构造的导数也是如此，正负项不再是等值的单调递增，而是一边越来越大。那两边就是同态关系了，故求和相减后不能收敛于0。最后通过洛必达法则和解析延拓性质推导该命题为真。这是第二种证明。

7.只有特征数的倒数与满域的差分算子相继作用一阶素数二项式等价于素数二项式的均值时，黎曼泽塔函数才是正负同构等价的。而满域的差分算子可从二项式展开中显示出。函数两头互异的性质，证明了黎曼泽塔函数实部互异，则函数互异，其中的桥梁是斜率互异则导数互异，导数互异则原函数互异，原函数互异，黎曼泽塔函数有对应值。由此证明了实部取1/2时，函数值必会等于0。实部取其它值与1相减后都没有等量解，即不会唯一。这是黎曼猜想能够获证的本质。

8.反过来，黎曼泽塔函数互异，则原函数互异，继而导数互异。黎曼泽塔函数复指数变量的实部一旦取非1/2值时，即无0点解，从而证明了黎曼泽塔函数的所有解都落在了Res=1/2的直线上。于是黎曼猜想用第一种方法也就获得了证明，是基于“浓缩实部常数”性质来完成证明的。然后用了两种封顶证明的思路。第二种用哥猜做引理证明黎曼猜想，第三种用定义域和值域之间互异光滑的单调连续关系证明了黎曼猜想，可反过来证明哥猜。

也就是说，当且仅当Res=1/2时ζ（s）=1+1/2^s+1/3^s+…才有同构的ki增广级数系数项或连和后的增广级数系数项，唯有系数ki或若干项之和的原函数系数ki等于2时，才存在级数解析延拓后等式的左右正负同构，而等于2k时则左右同态。有了同构关系，级数的增广线性组才具备线性相关。考察复指数变换后的级数方程通过解析延拓可知，Res=1/2在表达式中的各项位置（非独立于自变量而受控于自变量）显示，如果Res作为改变量不是常量斜率而是变量导数，除非是一维斜率尚可以延续同构关系。但如果其实质是担当了多维导数，稍加改变则会立马破坏级数方程的左右解集同构关系，而转为同态。因为整数不等量分割方程，其最简本原解是p+q=2m，右边反映特征数和多项式均值的函数，可对应全集偶数，然后再分割互素表达，等式左右通解皆沦为同态关系，即左右可表达的解集不再一样多了。如方程p+q+r=3m左右不是同构的，方程p+q+r+s=4m左右不是同构的，左边无论多少项分割都不是左右同构的，只要右边的系数非2，任意二元或多元分割都不是左右同构的，而同态关系的增广项连和与其他级数各项连和是不可能有线性相关的，黎曼泽塔级数方程也就没有非平凡0点解。于是黎曼猜想获证。

一句话，多项式与单项式之间的同构关系稀有，这是黎曼猜想难以攻克的奥秘。而一旦存在同构关系，则多项式的各种线性变换会依然同构。这是超级黎曼泽塔函数的导数生成元当且仅当为1/2常量时存在线性相关广义黎曼猜想也依然成立的原因。

根据代数基本定理，n次代数方程有n个根。这是可产生解析延拓的条件。广义黎曼猜想所采用的变通后的黎曼ζ函数叫作狄利克莱L函数（DirichletL-function），它是一个级数的解析延拓，那个级数叫作狄利克莱L级数（DirichletL-series），通常记为L（s，xk），其定义是（k、n为正整数）：

狄利克莱L函数的各项系数xk（n）就是多项式的互素线性算子，我们已经证明过，任意充分的整数域的线性算子都不会带来素数多项式的扩域和缩域。

可见广义黎曼猜想也是成立的。

广义黎曼猜想：狄利克莱L函数的所有非平凡零点都位于复平面上Res=1/2的直线上。不仅如此，超级广义黎曼猜想也是成立的，即自守L函数的黎曼猜想也是成立的。因为都不外乎是充分整数域的线性算子作用素数多项式。如果线性算子有新数域参与，那么右边的特征值会有相应的数域参与，从而左右可约掉。现在我们终于搞清楚了希尔伯特第八问题之谜，哥猜、孪生素数猜想与黎曼猜想三个问题全是等价的。其中哥猜最为简洁深刻，最有积极意义。（文/罗莫）

参考文献：

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[2][2]JosephH.Silverman.数论概论（原书第3版）[M].孙智伟，吴克俭，卢青林，等，译.北京：机械工业出版社，.

[3]章璞.伽罗瓦理论天才的激情[M].北京：高等教育出版社，.

[4]郝志峰，谢园瑞，汪园强.线性代数（第2版）[M].北京：高等教育出版社，.

[5]哈代，赖特.哈代数论[M].张明尧，张凡，译.北京：人民邮电出版社，.

[6]伯克霍夫，麦克莱恩.近世代数概论[M].王连祥，徐广善，译.北京：人民邮电出版社，.

[7]纳森.加性数论（经典基）.英文版[M].北京：世界图书出版公司北京公司，.

[8]汪斌.深圳基础理论原创文集数学物理卷[M].深圳：海天出版社，.

注释：

①亚纯函数。亚纯函数是在区域D上有定义，且除去极点之外处处解析的函数。从代数的观点来看，如果D是一个连通集，则亚纯函数的集合是全纯函数的整域的分式域。这和有理数Q和整数Z的关系类似。

②洛必达法则。洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。

③特征值。特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值（characteristicvalue)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

④差分算子。差分算子是一种算子，对任一实函数f(x)，若记Δf(x)=f(x+1)-f(x)，则称Δ为向前差分算子，简称差分算子。差分是计算数学的基本概念之一，指离散函数在离散节点上的改变量。

⑤极坐标。在平面内取一个定点O，叫极点；引一条射线Ox，叫作极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫作极坐标系。本文的极坐标有所改进，从极中心出发的螺线的根数为极径长的读数，螺线的相邻区分格点为螺线长的读数，其中极径长的读数可以为有限值也可以为无限值，转换为笛卡尔坐标系时的y轴读数是原极径长读数的倒数。

⑥精细结构常数。精细结构常数，是物理学中一个重要的无量纲数，常用希腊字母α表示。精细结构常数表示电子在第一玻尔轨道上的运动速度和真空中光速的比值，计算公式为α=e2/（4ε0c?）（其中e是电子的电荷，ε0是真空介电常数，?是约化普朗克常数，c是真空中的光速）。精细结构常数是一个数字，量纲为1（或说是无单位），1/α≈（更近似为.）。

⑦夹逼定理。函数AB，函数BC，函数A的极限是X，函数C的极限也是X，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。

　　　　

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